Đọc sách của Daniel J. Velleman “How To Prove It” và việc giúp con học toán

Posted on August 27, 2014 by

2


Op-Economica, 27-8-2014 — Cuốn sách này đưa tôi ngược thời gian về với thời học cấp 2 (bây giờ gọi là THCS), khi học sinh phổ thông chập chững lần đầu tiên tập với cách “chứng minh” một mệnh đề toán học.

Khỏi phải nói cảm xúc nhiều thế nào. Lúc ấy, tôi đang quen với bắn súng cao su (bắn sấu) và đục ống bơ làm đèn bắt ve… Nào có biết nhiều năm sau trong cuộc đời sẽ đi hì hục chứng minh gì đó. Vì thế, cái khởi đầu bỡ ngỡ của một chứng minh toán học ấn tượng vô cùng.

Nó cũng lần đầu tiên mở mắt cho tôi biết nhà giàu và nghèo khác nhau thế nào. Số là, khi “chó ngáp phải ruồi” vài lần, với điểm toán cao, ai đó đã bỏ tôi vào nhóm bồi dưỡng toán để đi thi. Tôi thì tuyệt nhiên không hiểu có khái niệm “gà nòi” luyện đấu. Nhưng nhiều người khác đã biết, biết từ lâu rồi…

Tới khi vào học, những thầy giáo ‘siêu hạng’ ra những đề bài ‘siêu hạng’ và bắt những học sinh ‘siêu hạng’ giải ra những đáp án ‘sao Hỏa’, tôi choáng toàn phần. Không hiểu nổi ở đâu sinh ra những con người vĩ đại, bài toán vĩ đại và lời giải vĩ đại thế. Mà thử hỏi, một thằng cu chỉ rình giữa giờ là trèo tường vặt đu đủ ương, hay vác thuổng đào khoai lang ở vườn tăng gia, thì đầu óc đâu để hiểu cái nỗi niềm của sự siêu phẩm.

Kỳ thực, những đứa trẻ nhà giàu có những cuốn sách, đáp án, thời gian và thầy chuyên luyện. Việc này diễn ra từ bé. Với một số đứa cùng lớp, là dưới sự đe dọa của đòn roi! Chúng rất giỏi… và hầu hết sau này đều không làm được việc gì đáng kể cho xã hội, ngoài việc là “nhân chứng lịch sử” của một thời cấp 2 cấp 3 hào hùng!

Nhưng họ cũng làm tôi kinh hãi nhiều năm… nỗi kinh hãi này tiếp tục, ngay cả khi tôi đã vượt qua họ trong các kỳ thi “gà chọi” thời cấp 3, bất kể họ luyện thi khủng khiếp! Nhưng vượt qua họ mà tôi vẫn còn sợ, vì nỗi ám ánh của mấy cái định lý về số nguyên tố (kiểu như ví dụ của Velleman về định lý đẹp nhất của Euclid về số nguyên tố). Mới thấy cái ám ảnh tuổi thơ ghê gớm… Mới thấy tiền bạc đã là nhân chứng của sự hoảng hốt từ lâu lắm rồi…

Thú thật là kể cả về sau này, nhiều năm sau khi hoàn tất luận án tiến sỹ ở châu Âu, và đăng những công trình nghiên cứu tử tế, trong huyết quản của tôi vẫn không có lấy nổi nửa giọt ‘siêu phẩm’. Mỗi khi nghĩ lại những ngày ‘học nhóm’ cấp 2, vẫn thấy thấp thỏm, sợ sệt và đầy tự ti.

Bây giờ đọc được cuốn sách này, tôi lấy lý thú vô cùng. Sáng rõ cả. Nó giải thích tất cả. Nhưng được viết rất lương thiện… không lắt léo, đánh bẫy, lừa và cho học sinh ‘sập hầm’ chỉ để nhằm chứng minh rằng: “Thầy giáo thông minh” và “các em nên đến thầy để luyện thi”.

Ngày ấy những đứa trẻ ‘vĩ đại’ cả ngày luyện tập với những ông thầy vĩ đại đã nung nấu ý chí, ngày nào đó, chúng sẽ đe những đứa trẻ khác cùng lớp không có tiền, thầy và sách, biết thế nào là sự vĩ đại của chúng, và khoan khoái với những vẻ mặt nghệt ra. Với Velleman, việc ấy vô nghĩa. Bạn sẽ thường xuyên gặp trong cuốn sách, lời nói ôn tồn của tác giả: “Đừng lo lắng, nếu bạn không hiểu nổi, ở đâu rơi xuống cái lập luận bất ngờ, thông minh và hết sức bí hiểm ấy. Chỉ một lát nữa sẽ sáng rõ… Có cách để làm sáng rõ, và làm được tương tự…” Người lương thiện quả nhiên nói lời lương thiện.

Hiện giờ tôi dạy các con tôi học toán, vật lý bằng phương pháp giống như Velleman. Từ tốn, xuất phát đơn giản, và dựa trên sức mạnh tư duy hệ thống. Tránh xa cái thứ mẹo mực, đi tắt đón đầu, sử dụng ‘pháo hạng nặng’ trong khi tay còn chưa cầm được dao gọt hoa quả, v.v..

Cảm ơn tác giả Velleman. Ít nhất ông giúp tôi nhận ra, cách dạy học của tôi – dành cho các con – có căn cứ tốt, và là triết lý không kém hiệu quả.

* * *

Quay lại với ‘chuyên môn’ và lợi ích của cuốn sách Velleman mang lại.

“Chứng minh” là công việc chúng ta hay làm hàng ngày, từ dễ tới khó. Một trong những mục tiêu lớn nhất của chứng minh là để người đối diện, hoặc một số lượng người lớn, tin vào phẩm chất các lập luận, tin vào sự xác thực logic, và cuối cùng là tin vào kết luận, mệnh đề nào đó.

Rõ ràng, việc chứng minh quan trọng, vì nó tạo ra niềm tin. Niềm tin là ‘thành tố’ quan trọng đầu tiên để gây dựng cái gọi là ‘giá trị’.

Trong cuộc sống, chúng ta cũng không khó tìm các ví dụ một người được tin tưởng thì được giao phó trọng trách, huy động được nguồn lực, bán được hàng, kiếm được tiền, được kính trọng (theo nghĩa “nói là có người nghe”).

Rất tiếc, chứng minh sự đúng đắn một quan điểm, suy đoán, mệnh đề… lại là việc không hề dễ dàng. Để làm việc ấy cần phương pháp. Đặc biệt là khi ta cần chứng minh nhiều việc, nhiều lần, và bền bỉ suốt giai đoạn dài (thành tựu phải xây dựng từ từ, không mấy khi mà thoắt cái thành công!).

Trước kia, do thiếu sách vở và tài liệu, việc này thường được “chỉ bảo” dựa trên kinh nghiệm, và quá trình học tập trường lớp. Ngày nay, nhờ có Internet và sự phổ biến các tài liệu khoa học, mỗi người đều có thể trang bị cho mình khả năng chứng minh ấy.

Tôi xin giới thiệu một cuốn sách tốt cho việc này (và các bạn có thể download theo link URL dưới đây), và nó rất thú vị. Cuốn sách này có tên là Làm thế nào để chứng minh nó – Một tiếp cận cấu trúc, của tác giả Daniel J. Velleman, giảng dạy Bộ môn Toán và Khoa học máy tính tại Amherst College (Mỹ), xuất bản bởi Cambridge University Press. Cuốn sách này hữu dụng nên đã được in lại nhiều lần 1994-5-6, 1998, 2006, 2008 và 2009.

2014-08-27_Set_opsNó sử dụng các lập luận logic kiểu biện luận toán học và cấu trúc ngôn ngữ điều khiển máy tính. Tuy nhiên, nó được viết dễ hiểu và tạo nhận thức theo vòng xoáy trôn ốc, tăng dần mức độ “tinh vi” của lập luận.

Trên thực tế, các lập luận mạch lạc, ‘có lý’ và đáng tin cậy quan trọng không riêng gì với bộ môn toán học, mà với tất cả các ngành logic, máy tính, kinh tế, các khoa học tự nhiên và xã hội, v.v.. và đặc biệt là với triết học.

Daniel J. Velleman (2009) How To Prove It: A Structured Approach. NY: Cambridge University Press.

Hy vọng mọi người thấy cuốn sách hữu ích và có hứng thú đọc, áp dụng và chiêm ngẫm những kết quả bất ngờ.